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  • Polynôme irréductible

    Formulaire de report



    Définition

    Définition :
    Soit \(P\in{\Bbb K[X]}\) un polynôme non constant On dit que \(P\) est irréductible si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes de la forme \(aP\), où \(a\in{\Bbb K}^\star\)


    Propriétés


    Décomposition

    La décomposition en polynômes irréductibles dans \({\Bbb C}[X]\) d'un polynôme du type \(rX^n+1\) est : $$\prod^{n-1}_{k=0}\left( X-\frac1re^{i\frac1n(\pi+2k\pi)}\right)$$

    Caractérisation dans un anneau

    Proposition :
    Un polynôme irréductible de \(A[X]\) ne peut être que de deux formes :
    1. Soit c'est un élément irréductible de \(A\) (de degré \(0\))
    2. Soit c'est un polynôme primitif qui sont irréductibles dans \({\Bbb K}[X]\)

    (Polynôme primitif)
    Théorème :
    Si \(P\) \(\in A[X]\setminus\{0\}\) est primitif, alors on a l'équivalence : $${{P\text{ irréductible dans }A[X]}}\iff{{ P\text{ irréductible dans }{\Bbb K}[X]}}$$


  • Rétroliens :
    • Elément simple
    • Fraction rationnelle
    • Idéal premier
    • Module
    • Pgcd d'un polynôme
    • Polynôme primitif
    • Polynôme réel
    • Polynôme